ベクトルの外積について

突然ですが、ベクトルの外積って知っていますか？

ベクトルの外積は、高校数学の範囲外で学校で勉強するところは少ないと思います。

ですが、本当に便利な定理なので、難関大学を狙う人のほとんどは知っていると思います。

平面に垂直なベクトルは、平面上の任意な１次独立なベクトル２つと垂直であるh知うようがあります。これを計算するのは難しいですが、実は、外積を利用すると簡単です。

外積を利用すると、ほんとに簡単に平面に垂直なベクトルを求めることができます。

また、外積は、空間図形における三角形の面積をごくごく簡単に求めることができます。

外積は、本当に便利なんですが、知らない人が多いのでまとめてみました。
ベクトルの外積のプリント

ベクトルの外積は、高校数学の範囲外なので、大っぴらに使うことはできませんが、センター試験などのマーク試験では使ってもらってかまいません。他の問題でも、検算用に使ったり、することは可能です。

当たり前だよ、と思う人もいるとは思いますが、普段高校生に数学を教えていて、ベクトルの外積を知らないという人が本当に多いです。

プリントを見てもらえばわかるとは思いますが、ごくごく簡単な内容です。先ほど説明した、外積のプリントを見て、しっかりと勉強をしておいてください。

高校数学、３角関数の４倍角や５倍角の公式

三角関数には、２倍角３倍角の公式があるのはほとんどの人が知っていると思います。


たまに、高校生から「三角関数には２倍角３倍角の公式はあるけど、それ以上の公式４倍角５倍角の公式はあるのですか？」と聞かれることがあります。


答えから言うと、三角関数の４倍角、５倍角の公式も存在します。ただ、２倍角３倍角の公式に比べ出てくることは本当に少ないです。


２倍角３倍角の公式は、三角関数の加法定理から導けます。これと同じように４倍角５倍角の公式も、三角関数の加法定理から導くことができます。


２倍角３倍角はよく出題されるので、導き方とともに結果自体も覚えておいた方がいいですが、４倍角５倍角はそれほど出題されるものではないので、結果を覚えることはありませんが、導き方を覚えておくようにしてください。


三角関数の３倍角の公式を三角関数の加法定理から導いた時、２倍角の公式よりずっと面倒だったと思います。４倍角の公式や３倍角より面倒で、さらに５倍角の公式はもっと面倒です。


たしかに４倍角、５倍角ともに三角関数の加法定理から導けば簡単に導くことができますが、一度もやったことがないと方法自体は簡単なんですが計算がややこしいので試験場でパニックになるかもしれません。そうならないために一度でいいから加法定理を使って、４倍角５倍角の公式を自分で導いておくようにしてください。

高校数学の問題は必ず考えながら解くようにしよう

今日は２次関数の平方完成の話です。

２次関数の問題だと、何も考えずに平方完成してしまう人が多いです。２次関数の問題だからといって平方完成するとはかぎりませんよ。

２次関数で平方完成をするのは、頂点を求める時かグラフを描く時だけです。ですから２次関数の問題でも、頂点を求めたりグラフを描く必要がない問題では、平方完成はしません。

普段、高校生に数学を教えていて２次関数の問題をみたら何も考えずに平方完成をしてしまう人が多いです。

平方完成をした生徒に「なんで平方完成したの？」と聞くと「イヤ、なんとなく」と答えられることが多いです。


これは、２次関数の平方完成に限らず高校数学全般に言える話ですが、式変形をするときは、必ずなぜその式変形をするのか意味を考えるようにしてください。

むやみやたらに数学の問題を解いていてもなかなかできるようにはなりません。


式変形をするときは、必ず意味を考える、これ簡単そうに思えますが意外に難しいんです。習慣になるまではたぶん想像以上に難しいと思います。


ですがこの習慣があるかどうかで、今後の数学の理解のスピードがまったく違ったものになります。大変だとは思いますが、なんとかがんばってこの習慣をつけるようにしてください。

大学受験に範囲外の解法を使ってもよいのですか？

大学受験に範囲外の解法を使ってもよいのですか？

高校生から「範囲外の解法を使ってもよいのですか？」と聞かれることがあります。パップスギュルダンの定理やロピタルの定理、ベクトルの外積・・・いろいろとあります。

高校数学を教えている私が言うのも何なんですが、「よく分かりません」

大学受験の採点者に聞いたことがありますが、その人は「気にしない」と答えていました。その採点者がたまたまそうであっただけで、他の採点者はどう採点するか分かりません。

僕の答えとしては、「できるだけ使わない方が良い。でも、その公式を使わないと解けないようなものがでてきたら、使っても良い」です。

大学受験の問題を作る側は意外にも高校の数学の範囲を理解していないことが多いです。範囲外からも、どこかの大学で毎年のように出題されています。

ですから、教科書の範囲内では解けるとしても計算が膨大になってしまうものがたまに出題されます。

数学は、厳密さにイヤというほどこだわります。ですから、大学受験の問題に「ただし、解答は教科書の範囲内に限る」とでも書いていなかったら本来なら教科書の範囲内、範囲外にこだわらず解いたらよいと思うのですが・・・

それでも、もし減点されたら怖いですよね。だから、できるだけ教科書の範囲内で解くようにしてください。範囲内でどうしても無理なら、範囲外の解法を使ったらいいいと思います。

数学のセンター試験の傾向が変わってきている

数学のセンター試験の傾向が変わってきている。

数学のセンター試験ですが、ここ最近出題傾向が変わってきています。といいますか出題傾向がなくなってきています。

以前なら、出題されるところはある程度決まっていて、教科書の範囲内であっても出題されにくいところはほとんど出題されませんでした。

例えば、数列を例にとりますと、等差数列、等比数列、シグマに関する問題は毎年のように出題されていましたが、一方で群数列、漸化式、帰納法の問題といったものは出題されませんでした。

ですが、ここ最近、今でなら出なかったところもどんどん出題されるようになってきています。

ベクトルも空間ベクトルは簡単なものしか出題されませんでしたが、ここ最近はベクトル方程式や座標など今まで出題されなかった内容のものが出題されています。

幸い、センター試験は教科書の内容を超えることがないので、教科書の勉強さえしっかりとできていたら大丈夫です。

センター試験で、高得点を狙いたいのなら教科書の内容を隅から隅まで徹底的に理解するようにしてください。問題集も、教科書レベルのもので良いですから、出やすい単元のみを扱った問題集よりも、全範囲が載っている問題集で勉強するようにしてください。

数学の得意な人でも、センター試験の数学で特に数学２Bでは高得点をとれない人が多くなっています。しっかりと勉強をしておくようにしてください。